L’UNDERSAMPLING  DEI SEGNALI SODAR

Angelo Ricotta

angeloricotta@gmail.com

 

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Il nostro mondo naturale si comporta, per lo più, in modo analogico, almeno a livello macroscopico,  per cui per interfacciarlo con computer digitali occorre campionare i segnali analogici provenienti da esso. L’universalmente noto teorema del campionamento dei segnali, generalmente accreditato a Nyquist e Shannon, ma la storia è più articolata [1] [9], afferma che per ricostruire correttamente l’informazione contenuta in un segnale a banda limitata, la frequenza di campionamento  deve essere almeno il doppio della più alta frequenza  del segnale: . In pratica si usa  in quanto ci potrebbe essere ambiguità nel ricostruire la componente associata a  e anche il ripiegamento su se stesso del bordo superiore dello spettro a causa della forma non ideale della banda degli spettri che si riscontrano nella realtà. In questa forma il teorema è sempre valido ma, a volte, esso viene enunciato come dove  è la banda del segnale. Quest’ultima formulazione assume implicitamente che la frequenza più bassa  del segnale sia zero, , altrimenti l’enunciato non è valido in generale, come vedremo. Se la frequenza di campionamento  è più bassa di  , ovvero , ciascuna delle frequenze  maggiori di  saranno sovrapposte, ossia confuse, in particolare, con una corrispondente frequenza  dell’intervallo  (pagina 1 di Fig.1) secondo la relazione  ossia  con  intero.

 

Fig.1 Ripiegamento dello spettro attorno alla frequenza di Nyquist e suoi multipli  [2].

 

Si può pensare al diagramma di Fig.1 come ad una sequenza di pagine, ciascuna di larghezza  in orizzontale, le quali pagine possono essere ripiegate l’una sull’altra, in particolare sulla prima, alternativamente a mo’ di “soffietto” [2]. A causa di questo fenomeno, lo spettro di frequenze di un segnale campionato sarà replicato in tutte le pagine. Se le frequenze dello spettro del nostro segnale da campionare sono contenute interamente in una delle pagine esse verranno replicate in tutte le pagine, senza però che le repliche si sovrappongano. Se lo spettro originale già non è in prima pagina, una delle repliche spettrali del segnale campionato sarà, in particolare, posizionata in prima pagina, secondo la relazione surriportata, con il risultato di aver effettuato una conversione di frequenza, evitando però il ripiegamento dello spettro su se stesso. Dalla Fig.1 si può constatare come l’ordine delle righe spettrali viene preservato se lo spettro del segnale originale è contenuto nelle pagine dispari, mentre viene invertito per le pagine pari. Tutto ciò avviene in quanto il campionamento nel dominio del tempo, che è una moltiplicazione del segnale con un pettine di impulsi unitari, si traduce nel dominio delle frequenze nella convoluzione degli spettri del segnale e del pettine di impulsi unitari. Un’elegante e dettagliata descrizione, sia matematica che visuale, è data in [4]. Lo spettro completo di un segnale campionato a banda limitata o passante è costituito da infinite repliche dello spettro originale simmetricamente disposte intorno a multipli, positivi e negativi, della frequenza di campionamento, come illustrato in Fig.2. Lo spettro originale, quello della parte superiore della Fig.2, è composto da due toni puri a 1 e 12, in unità arbitrarie di frequenza, e da uno spettro continuo esteso da 6 a 7. Se campioniamo questo segnale alla frequenza di 5 otteniamo il diagramma colorato in basso nella Fig.2, nel quale si ravvisano le repliche spettrali di cui sopra simmetricamente centrate intorno a multipli di . Si noti anche che i toni puri, originariamente posizionati in 5 e in 12, e quindi isolati nello spettro originale, sono, dopo il campionamento, sovrapposti ai bordi dello spettro continuo. Naturalmente uno spettro originariamente continuo, campionato per un tempo   limitato, sarà costituito da componenti discrete la cui risoluzione in frequenza è data da , che però non sono visibili in Fig.2.    

 

 

Fig.2 Repliche dello spettro di un segnale a banda limitata o passante campionato.

 

Il modello “a soffietto” dello spettro di un segnale campionato si presta ad una immediata e semplice formulazione matematica. Sia  la banda del nostro segnale da campionare.

Le condizioni chiave per evitare il ripiegamento dello spettro su se stesso, per   intero,

sono  [3]

 e 

che significa, semplicemente, che lo spettro originale del nostro segnale da campionare deve essere contenuto interamente in una delle pagine di Fig.1. In realtà lo spettro può anche essere segmentato in diverse pagine. In tal caso però occorre scrivere le condizioni di cui sopra per ogni segmento e debbono esserne verificate altre affinché i segmenti campionati non si ripieghino gli uni sugli altri.

Le connessioni tra i numeri di pagina,  e  sono date dalle seguenti relazioni:  e  in cui  è la funzione “pavimento”, ovvero il più grande intero non maggiore di “arg”.

Isolando  dalle diseguaglianze di cui sopra abbiamo

                                                                                                                     (1)

e quindi eliminando otteniamo da cui

                                                                                                                            (2)

Queste sono le formule fondamentali per l’undersampling o  sottocampionamento, anche se io, nella mia nota originale [3], non uso nessuno dei due termini perché, a suo tempo, non mi ero preoccupato di coniare una specifica terminologia per questa operazione.

Per esempio, sia e . Applicando la (2) abbiamo , ovvero , e quindi dalla (1) si ottengono tutte le frequenze permesse di campionamento, ossia : , :  e, naturalmente, :  . Come anticipato, l’ordine delle righe dello spettro del segnale a banda passante, ribaltato in prima pagina, sarà rovesciato o meno a seconda della posizione dello spettro del segnale originale rispetto alla frequenza  di campionamento scelta: se il corrispondente  è dispari l’ordinamento si conserva, se invece è pari l’ordine è invertito.

Notare che per eseguire un corretto undersampling non si possono usare tutte le frequenze di campionamento , infatti nell’esempio di cui sopra questa scelta condurrebbe a   che è ovviamente sbagliata. Se siamo interessati solo all’estremo inferiore  delle frequenze di campionamento, sostituendo la (2) nella (1) il termine di sinistra fornisce

                                                                                                (3)

 

che coincide con quella riportata in [4]. Un’espressione equivalente alla (1), ma nel dominio del tempo, è data in [5]. Non abbiamo usato il segno uguale in (1) e in (2) per evitare possibili sovrapposizioni e ambiguità ai bordi dello spettro, ma se la potenza al di fuori dell’intervallo aperto  è zero o trascurabile possiamo scrivere  e , ovvero dobbiamo prendere in considerazione la reale forma dello spettro a banda passante  per evitare ambiguità e per minimizzare gli errori ai suoi bordi. È possibile dare alla (3) una forma differente. Sia  e chiamiamolo “indice di banda”. Consideriamo la . Il dominio di  is , inoltre si ha   e quindi . Il dominio di è  e il suo diagramma è mostrato in Fig.3. Notare che per  e non a .

 

Fig.3 Estremo inferiore della frequenza di campionamento normalizzata rispetto all’indice di banda.

 

In un recente articolo [6] sono state riportate due formule  e  per calcolare una possibile frequenza  per l’undersampling di un segnale a banda passante, note la portante , e la banda . La procedura di calcolo è la seguente: in prima approssimazione si pone , si inserisce questo valore in  e quindi si usa questo valore intero di , che è approssimato per difetto, per calcolare il vero . Penso che questo calcolo, nell’ambito di una illustrazione dei concetti dell’undersampling o sottocampionamento, non abbia alcuna utilità e anzi sia fuorviante almeno per due ragioni: la prima è che esso non è più semplice della procedura richiesta dalle  (1) e (2), la seconda, e peggiore, è che esso fornisce un unico valore per la frequenza di campionamento invece di tutti gli insiemi permessi di frequenze, inoltre la frequenza calcolata non è neanche l’estremo inferiore, ma è solo quella particolare frequenza di campionamento per cui le repliche spettrali del segnale campionato vengono posizionate al centro delle pagine di Fig.1. Le formule surriportate esprimono quest’ultima proprietà in modo poco trasparente e sono anche  farraginose come algoritmo, contrariamente alla solare logicità delle (1) e (2). Infatti si prenda  e . Essendo  e , come nel precedente esempio, avremo , invece l’estremo inferiore delle frequenze di campionamento è . Se i dati a nostra disposizione sono solo  e  è comunque facile passare al metodo generale, dato dalle (1) e (2), ponendo  e  ed eseguendo i calcoli nel modo già indicato. Comunque le formule  e  si deducono facilmente dalla . Per definizione è , quindi  è sempre soddisfatta in quanto implicitamente contenuta nella diseguaglianza sinistra della (1): notare che non si può usare ogni  per l’undersampling, come già mostrato, in quanto occorre soddisfare entrambi i vincoli della (1). Per dedurre , assumiamo , ossia prendiamo la media aritmetica dei due estremi della (1). Tramite le seguenti manipolazioni algebriche otteniamo: .

Dato che , sostituendo  dedotta dalla (1), finalmente otteniamo . La sostituzione  produce, come aspettato, una  più piccola della media aritmetica assunta in partenza. Alla fine si ha  e quindi   con . Questa deduzione si può eseguire in modo più diretto considerando che lo scopo del calcolo di questa specifica  è quello di posizionare le repliche spettrali del segnale campionato al centro delle pagine di Fig.1. Dalle condizioni chiave [3] dobbiamo porre  da cui .

Anche nelle applicazioni pratiche è importante calcolare tutte le frequenze permesse di campionamento, in quanto possono esserci, nella specifica applicazione, dei vincoli che ci impongono l’uso di un particolare intervallo di frequenze di campionamento, per cui è sempre meglio affidarsi alla procedura generale per eseguire questo calcolo.

Il mio interesse per l’elaborazione dei segnali iniziò a metà del 1975 quando iniziai a lavorare alla mia tesi di laurea in Fisica [7] che consistette nel progetto e realizzazione di un SODAR per l’uso in studi di dinamica dello strato limite atmosferico. Per l’hardware seguii, basilarmente, il lavoro di E.J.Owens [8], aggiungendovi diverse soluzioni originali, ad ogni modo io sono stato il primo, in Italia, a progettare e costruire, personalmente, un sistema SODAR ben funzionante e ancora adesso, dopo quasi trent’anni, diverse persone continuano ad utilizzare le idee scientifiche e le soluzioni tecniche da me elaborate in quegli anni, alcune delle quali sono descritte in [3][7][10], anche se non tutti costoro lo vogliono ammettere. SODAR è l’acronimo di SOund Detecting And Ranging ed esso è un RADAR a onde acustiche che emette nell’atmosfera brevi pacchetti acustici i quali vengono diffusi dalla turbolenza. L’intervallo temporale di ripetizione dei pacchetti acustici è, normalmente, tra 3 e 6 secondi in funzione dell’intervallo spaziale da esplorare. L’emettitore è, usualmente, un altoparlante di potenza, posto al fuoco di un paraboloide per microonde il quale, a sua volta, viene racchiuso all’interno di uno schermo acustico per attenuare il rumore ambientale. Vi sono anche SODAR con antenne costituite da schiere di altoparlanti. Rispetto all’intervallo di frequenze emesse vi sono, fondamentalmente, due generi di strumenti: SODAR a bassa e ad alta frequenza. Tipicamente, l’intervallo basso di frequenze è 1000-3000 Hz, quello alto 5000-7000 Hz. In Fig.4 e Fig.5 sono mostrate le antenne di recenti versioni di  SODAR che ho contribuito a progettare: le grandi antenne tronco-coniche di Fig. 4 sono quelle a bassa frequenza, mentre le tre piccole antenne horn-reflector di Fig.5 sono quelle ad alta frequenza.

 

 

Fig.4 Antenne del SODAR a bassa frequenza

 

 

 

Fig.5 Antenne del SODAR ad alta frequenza

 

Durante il 1976 e per diversi anni, la prima versione di SODAR che progettai e costruii personalmente, e che miglioravo continuamente, fu estensivamente utilizzata in parecchie campagne di misura dalle quali emerse la necessità e di un efficiente campionamento del segnale e dell’elaborazione in tempo reale dei dati. La prima esigenza nasceva anche dal fatto che avevamo computer un po’ antiquati con A/D limitati e modeste unità di registrazione digitali, la seconda invece proveniva dalle necessità sorte nell’ambito del controllo dell’inquinamento atmosferico in cui sarebbe stato utile conoscere i profili di vento in tempo reale. Il SODAR è capace di produrre una soverchiante quantità di dati, anche per gli attuali standard, specialmente se si vogliono registrare, oltre ai dati elaborati, anche quelli grezzi, in previsione di analisi più approfondite. Inoltre si ha, a volte, l’esigenza di registrare i dati continuamente per giorni e anche per mesi. Cosicché dovevo ridurre, in qualche modo, l’entità dei dati da campionare senza però diminuire o perdere l’informazione rilevante. La soluzione fu raggiunta per approssimazioni successive. Il mio primo approccio fu hardware nel senso che realizzai, nel 1980, un’audio eterodina che traslava in basso lo spettro dell’eco. Si provò anche la decimazione dei dati campionati, confrontando gli spettri prima e dopo e osservando empiricamente che, in certe condizioni, il risultato era una traslazione verso il basso delle armoniche dello spettro senza alterare la potenza delle componenti. Infine, agli inizi del 1981, m’imbattei in [2], p.230, e immaginai che il modello “a soffietto” aveva un’utile formulazione matematica in termini delle formule fondamentali  (1) e (2) per il sottocampionamento surriportate. Solo molto tempo dopo lessi [4] e [5] e realizzai che almeno la (1), anche se sotto un’altra forma, era già nota. In questi testi l’argomento era trattato un po’ sotto tono  e in modo differente (non vi appare il termine undersampling ma “bandpass sampling theorem”) e parziale e senza una dimostrazione esplicita, invece io penso che la mia dimostrazione sia di un’evidenza palmare. In [4] la formula fondamentale viene enunciata in una forma diversa e nel dominio del tempo invece che in quello delle frequenze, come ho fatto io. Inoltre non è data la formula per . In [5] il “bandpass sampling theorem” è elencato tra i problemi da risolvere per i lettori e la formula mostrata si riferisce solo alla cosiddetta “frequenza critica di campionamento” (3), ma uno dei termini potrebbe suggerire, ad un lettore attento, il modo di calcolare . A quel tempo, per quanto ne so, le persone che lavoravano sui SODAR non usavano la tecnica dell’undersampling per campionare l’eco, e anzi persino la FFT non era loro familiare. Pertanto io penso di essere stato il primo ad introdurre l’undersampling in quest’area di studi, ad illustrarne i concetti e l’utilità in una forma semplice e particolarmente adatta all’uso pratico. Il mio sbaglio fu quello di non aver pubblicizzato per tempo e a sufficienza i miei risultati con l’effetto che, fin quasi dagli inizi e nel corso del tempo, diverse persone hanno cercato di attribuirsi il merito dei miei risultati, anche quelle che io avevo informato personalmente, e forse di altre neanche sono a conoscenza. Resta però il fatto che, nonostante la mia tardiva nota [3] sull’undersampling e su altri aspetti dell’elaborazione dei segnali  SODAR, sia del 1983, mentre invece io avevo conseguito tali risultati entro il 1981 e anche prima, i lavori degli altri sono tutti successivi, ad iniziare da almeno due anni dopo la pubblicazione della mia nota del 1983, e, per alcuni, conosco anche il perché: all’inizio coloro che conoscevano i miei risultati davano mostra di non crederci e qualcuno si rifiutava persino di usarli, in particolare quello sull’undersampling!

Il segnale emesso dal SODAR è un treno d’onde sinusoidali, tipicamente della durata di 100 millisecondi e con ripetizione di 6 secondi. I canali di ricezione si aprono dopo l’emissione del pacchetto acustico. In generale, il segnale ricevuto è fortemente modulato in ampiezza ma a bassa frequenza, l’ampiezza in frequenza dello spettro viene allargata dalla turbolenza  e le righe spettrali sono anche spostate in frequenza a causa dell’effetto Doppler, inoltre l’eco è immersa nel rumore ambientale, le cui caratteristiche di fondo dipendono dal sito in cui è allocato il SODAR. Con il SODAR è possibile visualizzare la turbolenza atmosferica e misurare il profilo verticale della velocità del vento e della sua direzione fino a circa 1000 m sfruttando l’effetto Doppler. Il pacchetto acustico emesso ha una banda di  ai primi zeri, dove  è la durata del pacchetto. Nel nostro caso  e quindi  centrato su , la frequenza trasmessa. Lo spettro di potenza del segnale ricevuto, quando il rapporto segnale rumore è molto buono, appare come in Fig.6, per un dato segmento di dati.

 

 

Fig.6 Spettro di potenza del segnale ricevuto con ottimo rapporto S/N

 

 

Il nostro scopo è quello di misurare I profili verticali di velocità e direzione del vento e di intensità della turbolenza per ogni scansione o per un certo numero di scansioni mediate, ad un certo numero di livelli di altezza. Per calcolare in modo affidabile queste quantità occorre campionare il segnale per renderlo disponibile all’analisi computerizzata. Prima del campionamento però è meglio filtrare il segnale con un filtro banda passante con larghezza di banda , come mostrato in Fig.6, per evitare di campionare anche un eccessivo rumore fuori banda. Inoltre io adotto anche l’accorgimento di agganciare la frequenza di campionamento a quella trasmessa per compensare un’eventuale deriva di quest’ultima che inciderebbe direttamente sulla precisione della misura del vento. Ulteriormente, quando le bande delle frequenze delle tre antenne sono ben separate ed esse, nell’insieme, soddisfano i requisiti dell’undersampling, i tre segnali ricevuti vengono miscelati tutti insieme [10] prima del campionamento riducendo, in tal modo, di un terzo la frequenza di campionamento. In una configurazione particolare l’intera larghezza di banda dei tre segnali del SODAR a bassa frequenza è di  cosicché i numeri sono gli stessi del precedente esempio eccetto che per le unità di misura, non influenti in questo discorso. Questo è il momento in cui l’undersampling o sottocampionamento entra in scena: il rapporto  determina, nell’esempio mostrato, il massimo fattore di riduzione, che possiamo ottenere, nell’entità dei dati campionati, il che significa oltre che un grande risparmio di memoria anche una ulteriore  notevole riduzione della frequenza di campionamento (la prima si ottiene, laddove possibile, con la miscelazione dei tre segnali), ciò che permette l’elaborazione in tempo reale dei dati con strumentazione di più basso costo. Dopo aver sottocampionato il segnale di ogni scansione, lo si suddivide in un certo numero di segmenti e ad ogni segmento si applica la FFT per estrarre lo spettro mostrato in Fig.6.

Nella modalità in retrodiffusione, ovvero ricevitore coassiale o coincidente con il trasmettitore, la velocità del vento è data da

                                                                                                             (4)

dove  è la velocità del suono,  la frequenza trasmessa e  la frequenza ricevuta. La formula (4) è un’approssimazione al primo ordine ma più che buona per lo strato limite in cui . Generalmente la frequenza ricevuta è definita come il momento primo normalizzato dello spettro dell’eco

in cui  è l’intervallo mostrato in Fig.6,  è la potenza dell’-ma componente e  è la risoluzione dello spettro. In una tipica configurazione triassiale le antenne vengono posizionate come in Fig.7

 

 

Fig.7 Orientazione delle antenne di un SODAR triassiale

 

Avendo calcolato le tre componenti assiali , , della velocità del vento  con la formula (4), occorre trasformarle, per l’uso che se ne fa in meteorologia, in componenti cartesiane , , dirette rispettivamente lungo gli assi  di un riferimento ortogonale, spesso orientato secondo i punti cardinali. Per definizione  e   in cui  e  sono, rispettivamente, i versori degli assi delle antenne e degli assi cartesiani. Si ha

 

                                                                                (5)

 

nelle quali usiamo la convenzione della somma per gli indici ripetuti nei prodotti.

Gli , sono i coseni direttori tra gli assi indicati, per cui si ha  con . Dato che conosciamo le  dalla (4), noti anche i coefficienti geometrici , siamo in grado di risolvere le (5) rispetto alle tre incognite . Per le particolari orientazioni mostrate in Fig.7, abbiamo

per cui

 

Risolvendo rispetto alle  finalmente otteniamo

 

  

Alla fine, ciò che era iniziato sottocampionando i segnali SODAR ha dato i suoi frutti. È infine possibile registrare, visualizzare, stampare profili della velocità e della direzione del vento e dell’intensità della turbolenza nello strato limite atmosferico, fino a circa 1000 metri, usando A/D relativamente economici, personal computer e comuni unità di registrazione digitale. In Fig.8 e Fig.9 sono mostrati due elaborati dei dati SODAR.

 

 

Fig.8 Profilo verticale dell’intensità del segnale verticale retrodiffuso rispetto al tempo.

 

 

 

Fig.9 Profilo verticale della componente verticale del vento rispetto al tempo.

 

 

BIBLIOGRAFIA

 

  [1] Abdul J. Jerry, “The Shannon Sampling Theorem – Its Various Extensions and Applications: A    Tutorial Review”, Proc. of  IEEE, vol.65, no. 11, November 1977.

  [2] Julius S. Bendat, Allan G. Piersol, “Random Data: Analysis and Measurement Procedures”, Wiley-Interscience, 1971, (p.230).

  [3] Angelo Ricotta, “Considerazioni sulla digitalizzazione e l’elaborazione dei segnali SODAR”, Nota Interna, IFA 83/11, IFA-CNR, Luglio 1983.

  [4]  E. Oran Brigham, “The Fast Fourier Transform”, Prentice-Hall, Inc., 1974, (p.87).

  [5]  “Reference Data For Radio Engineers, Fifth Edition”, Howard W. Sams & Co., Inc., ITT, 1970,  (p.21-14).

  [6]  Bonnie Baker, “Turning Nyquist upside down by undersampling”, EDN 12 May 2005.

  [7] Angelo Ricotta, “Sviluppo di un radar acustico e sue applicazioni allo studio della dinamica dello strato limite planetario”, Tesi di Laurea in Fisica, Università di Roma, Ottobre 1976.

  [8] E. J. Owens, NOAA MARK VII Acoustic Echo Sounder, NOAA Tech. Mem., Boulder, Colo., 1975.

  [9] P. L. Butzer, J. R. Higgins, R. L. Stens, “Sampling theory of signal analysis”, Development of Mathematics 1950-2000, Editor J. P. Pier, Birkhäuser, 2000.

[10] A. Ricotta, M. Berico, “Sodar tristatico”, LPS 80-6, LPS-CNR, Frascati, 1980.